PŘÍKLADY I - TERMODYNAMIKA

Na této stránce naleznete:
		Raketa
		Ryba
		Barometrická formule (ke zkoušce!)
		Vodorovný vrh
		Měrná tepla
		Úplné a neúplné diferenciály
		Účinnost tepelného stroje
		Růst ledu na rybníce
		Reálný plyn

Př. 1.: Raketa

Zadání: na oběžné dráze se nachází raketa o objemu 10 m³. Uvnitř je vakuum. Nějakým způsobem vpravíme dovnitř 1 cm³ (1 gram) vody. Určete tlak vodních par, který vznikne v raketě. Teplota lodi i vody je 100 K.
Předpoklady: Jde o izotop vody H₂O, známe hmotnost jednoho nukleonu m_p.

Řešení: Tlak spočteme ze stavové rovnice p = NkT / V. Počet částic určíme jako podíl hmotnosti kapky a jedné molekuly vody:

N = m/m₀ = m/(18 m_p) .

Výsledek: je 4.6 Pa.

Př. 2.: Ryba

Zadání: Ryba vypustí na dně rybníka, v hloubce 5 m, bublinu (T = 10 °C, V = 1 cm³). Určete její objem na povrchu rybníka (T = 20 °C).
Předpoklady: Zanedbejte absorpci molekul plynu do vody (N = const).

Řešení: Využijeme stavovou rovnici při konstantním počtu částic: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Odsud plyne:

p₁ = p_atm + hrg = 1.5×10⁵ Pa
p₂ = p_atm = 1.0×10⁵ Pa
T₁ = 283 K
T₂ = 293 K
V₁ = 1 cm³

Výsledek: V₂ = 1.55 cm³.
Modifikace (pro nepodprůměrné studenty): Zkuste si najít závislost velikosti bubliny na hloubce za předpokladu, že teplota roste ode dna k povrchu lineárně. Zkuste sestavit pohybovou rovnici bubliny (silou je vztlak) a řešit pohyb bubliny v závislosti na čase.

Př. 3.: Barometrická formule (ke zkoušce!!)

Zadání: Určete rozložení tlaku s výškou nad povrchem Země.
Předpoklady: Výška atmosféry (stovky km) je vzhledem k poloměru Země malá a proto budeme předpokládat, že na jednotlivé molekuly (dusíku) působí místo celkové gravitační síly jen tíhová síla m₀g, m₀ je hmotnost jedné molekuly. Teplota v atmosféře je konstantní.

Řešení: Vrstva atmosférického sloupce tloušťky Dy zvýší povrchový tlak o Dp = DF/ S = - m₀g DN / S, kde DN je počet částic ve vrstvě, který určíme ze stavové rovnice p DV = DN kT. Objem DV = S Dy. Je-li vrstva limitně tenká, získáme diferenciální rovnici

dp / dy = - (m₀g /kT ) p .

Diferenciální rovnici vyřešíme standardními metodami pro řešení lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu. Můžeme sestavit charakteristickou rovnici nebo rovnici řešit metodou separace.

Výsledek: Barometrická formule

p(y) = p(0) exp[- m₀gy / kT ].

Př. 4.: Vodorovný vrh

Zadání: Nalezněte mechanickou práci vykonanou tíhovým polem při vodorovném vrhu (po různých trajektoriích). Je diferenciální forma pro mechanickou práci ve tvaru úplného diferenciálu?

Řešení:

Silové pole: F = (0 , - mg )

Parametrické zadání křivek a jejich diferenciálů:

.

Koncový čas u křivky g zjistíme z podmínky dopadu y = 0. U křivek g₁ a g₂ má t význam parametru křivky a neodpovídá času jako u křivky g.Vykonaná práce je . Z podmínky snadno zjistíme, že diferenciální forma je ve tvaru totálního diferenciálu a výsledek tedy nemůže záviset na integrační cestě:

Výsledek:

Př. 5.: Měrná tepla

Zadání: Určete měrná molární tepla C_p a C_v pro jednoatomární plyn. Určete měrná tepla c_p a c_v za normálních podmínek, je-li hustota plynu 1.3 kgm^-3.
Předpoklady: Za normální podmínky považujeme atmosférický tlak p_A = 10⁵ Pa a pokojovou teplotu T = 300 K.

Řešení: Vyjdeme z Mayerova vztahu C_P = C_V + R a z Poissonova vztahu C_P/C_V = (f+2)/f. Oba vztahy chápeme jako soustavu rovnic pro neznámá měrná molární tepla. Po vyřešení máme:

C_V = f /2 R ,
C_P = (f /2 + 1) R .

Nyní zbývá určit měrná tepla c_Pa c_V. Z definic tepel C, c

C ş (¶Q/¶T)/n
c ş (¶Q/¶T)/m

plyne vztah c = n/m C. Počet molů n určíme ze stavové rovnice pV = nRT a hmotnost plynu z definice hustoty r = m/V. Dostaneme tak

c_V = C_V p/(rRT) ,
c_P = C_P p/(rRT) .

Výsledek: C_V = 12.45 JK^-1mol^-1, C_P = 20.75 JK^-1mol^-1, c_V = 385 JK^-1kg^-1, c_P = 641 JK^-1kg^-1.

Př. 6.: Úplné a neúplné diferenciály

Zadání: 1 m³ plynu za normálních podmínek je zahřán nejprve isochoricky na teplotu 600 K a poté isobaricky na teplotu 1800 K.

určete celkovou vykonanou práci, změnu tepelné energie, vnitřní energie a entropie.
určete tyto změny, došloli by k přechodu do koncového stavu přímo po přímce v pV diagramu. Porovnejte výsledky s tím, co víte o úplných a neúplných diferenciálech.
jakou mechanickou práci by plyn vykonal, kdyby byl děj kruhový?

Předpoklady: Plyn je dvojatomární. Za normální podmínky považujeme atmosférický tlak p_A= 1 atm = 10⁵ Pa a pokojovou teplotu T = 300 K.

Řešení: Ze stavové rovnice pV = NkT, resp pV = nRT určíme stavové parametry jednotlivých bodů:

A:	T_A= 300 K	p_A= 1 atm	V_A= 1 m³
B:	T_B= 600 K	p_B= 2 atm	V_B= 1 m³
C:	T_C= 1800 K	p_C= 2 atm	V_C= 3 m³

a = nR = Nk = pV/T = 1/300 atm m³ K^-1

Snadno určíme rovnice všech tří křivek (g₃ je úsečka procházející body A a C):

Nejprve spočtěme vykonanou mechanickou práci po obou cestách:

Povšimněte si, že hodnoty odpovídají přesně ploše pod příslušnými křivkami. Práce není úplný diferenciál a proto po různých cestách vyšel různý výsledek. Po uzavřené křivce je integrál mechanické práce nenulový a geometricky má význam plochy uzavřené křivkou v pV diagramu:

Určeme nyní například integrál entropie. Obecně platí:

Po jednotlivých cestách máme:

Je vidět, že DS₁ + DS₂ = DS₃. Integrál po obou cestách je stejný, protože entropie je úplným diferenciálem. Po uzavřené křivce je integrál entropie nulový (Clausiova rovnice).

Podobně bychom postupovali u určování dalších veličin (vnitřní energie, která je úplným diferenciálem a tepelné energie, která není úplným diferenciálem).

Př. 7.: Účinnost tepelného stroje

Zadání: Určete maximální možnou účinnost tepelného stroje, který je chlazený proudící vodou (T = 20° C) a ohříván vodní párou (T = 200° C).

Řešení: Využijeme Carnotův vztah h = (T - T₀)/T. Podle Carnotovy věty jde o největší možnou účinnost. Pozor hodnoty je třeba zadat v absolutní teplotní stupnici.
Výsledek: 38 %.

Př. 8.: Růst ledu na rybníce

Zadání: Určete funkci času, podle které narůstá led na hladině rybníka. Zjistěte za jakou dobu naroste deseticentimetrová vrstva při teplotě -5° C.
Předpoklady: Led přirůstá na spodní straně (na styku ledu s vodou), kde je teplota rovna teplotě fázového přechodu, tj 0° C. Měrné skupenské teplo tání l, koeficient tepelné vodivosti l, hustotu ledu r a jiné potřebné hodnoty naleznete v tabulkách materiálových konstant.

Řešení:

Ve vrstvě, kde se mění voda v led se uvolňuje tepelná energie dQ = l dm = l r dV = l r S dh. Toto teplo musí být odvedeno skrze vrstvu ledu podle vztahu: dQ/dt = l(S×Ń)T = lS DT/h. Porovnáním obou vztahů získáme diferenciální rovnici:

kterou řešíme separací proměnných:

Po integraci nalezneme řešení

Výsledek: Deseticentimetrová vrstva ledu naroste při venkovní teplotě -5° C cca za dva dny.

Př. 9.: Reálný plyn

Zadání: Určete rozměry molekul reálného plynu, znáteli jeho kritické parametry. Řešte pro vodu a CO₂.
Předpoklady: Předpokládáme, že se reálný plyn chová podle van der Waalsovy rovnice (stavová rovnice opravená na vlastní objem molekul a na kohézní tlak). Potřebné hodnoty konstant naleznete v tabulkách materiálových konstant.

Řešení: Van der Waalsovu rovnici pro jeden mol plynu (p + a/V ²)(V - b) = RT přepíšeme do tvaru kubické rovnice pro objem a dosadíme kritickou teplotu a tlak:

(V - V_c)³ = 0

Jde o vztah mezi kritickými parametry plynu a Van der Waalsovými konstantami a a b. Z experimentu zpravidla známe hodnoty T_c a p_c. Z rovnic vyloučíme kritický objem (např. vydělíme třetí a druhou rovnici a V_c dosadíme do první a druhé rovnice) a nalezneme konstanty a a b:

Konstanta b má význam objemu jednoho molu molekul plynu. Objem jedné molekuly proto bude V₀ = b/N_A a lineární rozměr molekuly bude r₀ ~ (V₀)^1/3.

Výsledek:

Pro CO₂: b = 4.26×10^-5 m³ mol^-1, r₀ ~ 4.1×10^-10 m.
Pro H₂O: b = 3.05×10^-5 m³ mol^-1, r₀ ~ 3.7×10^-10 m.

Termodynamika

Kmity

Vlny

Elmg. vlny

Optika

Relativita

Kv. teorie

Příklady